Analyse des risques du planning par Monte Carlo : quelle chance de finir à temps

Une bascule de paie comporte deux branches parallèles de 10 jours ouvrés chacune, puis une paie en parallèle de 3 jours : le planning annonce donc une mise en production au jour 13. Recalculez-le 5 000 fois avec des fourchettes honnêtes sur les deux branches, et le jour 13 n’est tenu que dans environ 17 % des itérations.

Le guide pour estimer la durée des tâches présente les dates P50 et P80. Ce guide explique d’où vient l’écart entre le planning et le P50, et sur quels plannings une analyse des risques du planning par Monte Carlo vaut la peine d’être menée. L’exemple est assez petit pour être recalculé à la main ; seules les corrélations de rang proviennent d’une simulation de 5 000 itérations.

Ce qu’est l’analyse des risques du planning par Monte Carlo#

L’analyse des risques du planning par Monte Carlo est une méthode qui recalcule un planning des milliers de fois avec des durées de tâches tirées au hasard et donne la fin du projet sous forme de distribution de dates, chacune associée à une probabilité d’être tenue. Elle existe parce qu’une date de fin unique ne dit rien de sa probabilité, et le Government Accountability Office (GAO) américain souligne dans son Schedule Assessment Guide que, sans simulation statistique, une date d’achèvement calculée à partir de la logique du planning et des estimations de durée tend à sous-estimer la durée du chemin critique^[1]. Dans l’exemple de paie ci-dessous, le jour 13 prévu est tenu dans 17 % des itérations, et manquer la date limite du jour 14 signifie un mois de plus sur l’ancien système de paie.

Chaque itération est un calcul de planning ordinaire. Seules les durées changent ; les liens et les calendriers restent ceux du planning. Après 5 000 itérations, les dates de fin sont triées : la date tenue par 80 % d’entre elles est le P80, celle tenue par la moitié est le P50. La probabilité de tenir une échéance est la part des itérations qui finissent avant ou à cette date.

Les estimations probabilistes de durée remontent à la Program Evaluation and Review Technique (PERT), décrite en 1959 pour le programme Polaris Fleet Ballistic Missile de l’US Navy, avec des durées d’activités fournies en termes probabilistes par le personnel technique^[2]. En 1966, Klingel a montré sur un réseau réel que le calcul PERT surestimait la probabilité de finir à temps, surtout lorsque plusieurs branches parallèles avaient des durées moyennes proches et de fortes variances, et a proposé la simulation pour estimer la distribution des dates d’achèvement^[3].

Qui a besoin d’une simulation de planning, et quand#

Une simulation de planning sert au chef de projet ou au planificateur qui doit s’engager sur une date de fin pour un planning où deux branches incertaines ou plus convergent avant la fin. Le planificateur la construit, et ce qui parvient au sponsor ou au client se résume généralement à un chiffre (le P80) et un graphique.

Notre seuil, une règle empirique : un planning d’environ 15 tâches ou plus avec au moins un point de convergence où se rejoignent deux branches portant des estimations à trois points. En dessous de 15 tâches, les calculs de cet article tiennent sur une feuille de papier. La taille de l’équipe change peu de chose. L’équipe paie de quatre personnes de l’exemple a autant besoin de la simulation qu’un programme de 30 personnes, car la chute de 42 % par branche à 17 % pour les deux vient de la seule forme du réseau. L’exemple est réduit à quatre lignes pour que chaque probabilité puisse être vérifiée, et la méthode est la même sur un planning de plusieurs centaines de tâches.

Lancez-la dès que le premier planning complet a ses liens et des estimations à trois points sur les tâches incertaines, avant qu’une date de fin ne sorte de l’équipe. Relancez-la quand vous enregistrez une référence de base, et chaque fois que l’estimation d’une tâche déterminante change de plus d’un jour. Chaque exécution prend quelques secondes.

Une chaîne unique sans point de convergence peut se passer de simulation, car un calcul plus court donne la même réponse. Additionnez les moyennes PERT et les variances le long de la chaîne, prenez la racine carrée de la variance totale, et l’approximation normale donne les percentiles. Six tâches à la suite, chacune estimée à 8, 10 et 14 jours, montrent le principe : le planning annonce 60 jours, les moyennes totalisent 62,0, l’écart-type PERT classique est de (14 − 8) / 6 = 1 jour par tâche, donc l’écart-type de la chaîne est de √6 ≈ 2,4 jours et le P80 d’environ 62,0 + 0,84 × 2,4 ≈ 64 jours ouvrés. Les 60 jours prévus sont tenus environ une fois sur cinq. Simulez quand même la chaîne lorsqu’elle porte des contraintes de date ou des tâches sur des calendriers différents, ou lorsque moins de cinq tâches environ concentrent toute l’incertitude avec des fourchettes aussi asymétriques, car l’approximation normale y est médiocre. Un sprint en timebox ne laisse rien à prévoir à la simulation : la date est fixe et c’est le périmètre qui varie.

Ce dont la simulation a besoin#

La simulation a besoin d’une estimation à trois points (optimiste, plus probable, pessimiste) pour chaque tâche dont la durée est incertaine ; la valeur la plus probable est la durée déjà inscrite au planning.

C’est la valeur pessimiste qui mérite le plus de soin. Dans une distribution PERT ou triangulaire, elle est la borne supérieure : aucune itération ne tire jamais une durée plus longue, donc tout ce qui se trouve au-delà est absent de tous les percentiles.

Notre recommandation : demandez à la personne qui fait le travail la durée qu’elle ne dépasserait que dans un cas exceptionnel, environ une fois sur cent, et saisissez-la comme valeur pessimiste. Une valeur qu’elle s’attend à dépasser une fois sur dix est un P90. Saisie comme borne, elle coupe la queue de distribution et avance le P80 et le P95. Posez la question sans manager dans la pièce, pour que la réponse ne soit pas infléchie vers la date que le manager souhaite.

Les réalisés passés fixent un plancher. Notre règle empirique : avec les durées réelles de cinq tâches passées ou plus du même type, réalisées avec le même fournisseur, la valeur pessimiste ne doit pas être plus courte que la plus longue d’entre elles. Le chiffre cinq vient de l’arithmétique : une nouvelle tâche dure plus longtemps que les n précédentes environ une fois sur n + 1, donc la plus longue de cinq durées réelles est dépassée environ une fois sur six, encore bien plus souvent que la fois sur cent que représente la valeur pessimiste. Avec deux réalisés, ce serait une fois sur trois, trop peu pour ancrer quoi que ce soit. Les réalisés d’un autre fournisseur ne comptent pas.

Deux distributions sont d’usage courant. La distribution PERT (bêta) donne peu de poids aux extrêmes, la triangulaire leur en donne davantage : avec les trois mêmes valeurs, la distribution triangulaire produit des percentiles plus tardifs. L’exemple de construction de maison du GAO utilise des distributions triangulaires et précise que d’autres existent^[1]. Les tâches sans estimation propre reçoivent une fourchette par défaut, un pourcentage de la durée prévue comme −10 % et +30 % ; réservez ce défaut aux tâches peu risquées.

Pourquoi les branches parallèles finissent après la date du planning#

Un point de convergence finit plus tard que ne le laissent penser ses branches, car la tâche qui le suit ne démarre que lorsque la dernière branche est terminée, et la plus tardive de plusieurs dates incertaines est, en moyenne, plus tardive que chacune d’elles. Le GAO appelle ce risque supplémentaire aux points de convergence le biais de convergence (merge bias) : avec deux branches ayant chacune 60 % de chances de finir à temps, le jalon de convergence n’est à l’heure que si les deux le sont, soit 36 % du temps, et une troisième branche à 60 % le fait tomber à 22 %^[1].

L’asymétrie aggrave les choses. Prenez une branche prévue à 10 jours avec une fourchette de 8 à 14. La distribution PERT place environ 42 % de sa probabilité à 10 jours ou moins, car la longue queue à droite tire la médiane au-dessus de la valeur la plus probable : la durée prévue est donc tenue moins d’une fois sur deux avant même toute convergence.

Deux branches indépendantes de cette forme finissent toutes deux au jour 10 avec une probabilité de 0,417 × 0,417, environ 17 %. Trois la font tomber à 7 %, quatre à 3 %.

Un exemple chiffré : la bascule d’un système de paie#

Une entreprise de 240 salariés change de prestataire de paie, et le planning annonce une mise en production au jour 13 pour une date limite de clôture mensuelle au jour 14, soit un jour de marge sur le papier.

Deux branches se déroulent en parallèle. La branche A paramètre les rubriques de paie et les barèmes fiscaux du nouveau système, et son cas pessimiste est la livraison tardive des barèmes de l’année par le prestataire. La branche B nettoie et charge les données salariés ; ce qui peut l’allonger, ce sont les entrées du mois, dont les coordonnées bancaires arrivent souvent la dernière semaine. Les deux alimentent une paie en parallèle, où l’ancien et le nouveau système traitent le même mois et où les bulletins sont comparés ligne à ligne. Le prestataire l’exécute dans une fenêtre de service réservée de 3 jours, sa durée est donc fixe ici.

Le planning de travail compte 26 tâches : 14 dans la branche A, qui se termine par la validation du modèle de bulletin par le directeur financier, et 12 dans la branche B, dont un import test de 20 fiches salariés. Le tableau résume chaque branche en une ligne. L’estimation de la branche A vient du responsable paie et du consultant de mise en œuvre du prestataire, celle de la branche B du responsable des données RH, chacune lors d’une séance de 30 minutes qui demandait une estimation à trois points de la branche entière, avec une valeur pessimiste fixée à une fois sur cent. Additionner 14 valeurs pessimistes au niveau des tâches aurait décrit une branche où tout va mal en même temps.

Les durées sont en jours ouvrés. Tous les liens sont de type fin-début.

Le planning correspond à la colonne « plus probable ». Les deux branches finissent au jour 10, la paie en parallèle occupe les jours 11 à 13 et la mise en production intervient à la fin du jour 13. A et B ont toutes deux une marge totale nulle, elles sont donc toutes deux sur le chemin critique.

La branche B paraît plus sûre, avec une fourchette de 9 à 12 contre 8 à 14 pour A, et pourtant elle tient les 10 jours tout aussi souvent. Les deux fourchettes placent la valeur la plus probable au tiers du chemin entre optimiste et pessimiste (2 jours sur 6 pour A, 1 sur 3 pour B) : les deux distributions PERT ont donc la même forme et B est A à demi-largeur. La queue de B est plus courte en jours, et cette différence apparaît dans les facteurs de risque.

Les chiffres ci-dessous sont les valeurs exactes de la distribution PERT ; une simulation de 5 000 itérations tombe à environ un point de pourcentage près.

Atteindre 80 % de confiance demande environ 14,4 jours ouvrés, soit le jour 15 une fois arrondi, un jour après la date limite. Une date limite manquée signifie un mois de plus sur l’ancien système et un second rapprochement de 240 bulletins. La date limite ne peut pas bouger, c’est donc le planning qui doit changer : soit le projet démarre un jour plus tôt, soit on raccourcit la queue de la branche qui porte le risque.

Les mêmes itérations classent les branches. La branche A est sur le chemin qui détermine la fin dans 53 % des itérations, B dans les 47 % restants. Dans une simulation de 5 000 itérations, la corrélation de rang entre la durée tirée de chaque branche et la date de mise en production est ressortie à environ 0,78 pour A et 0,39 pour B, parce que la fourchette de A est deux fois plus large.

Ramener la valeur pessimiste de A de 14 à 12 jours, par exemple en obtenant du prestataire les barèmes fiscaux avant le début du paramétrage, fait passer la probabilité du jour 14 de 66 % à 82 %. La même réduction de 2 jours sur B, de 12 à 10, donne 72 %. Si la fenêtre du prestataire pouvait glisser, avec une fourchette de 3 à 5 jours, tous les percentiles reculeraient, tandis que l’effet de convergence entre A et B resterait celui calculé plus haut.

Lire les percentiles et la réserve

Communiquez le P80 hors de l’équipe, arrondi au jour entier supérieur ; dans l’exemple, c’est le jour 15. Le GAO mesure la réserve de planning comme l’écart entre la date au 80e percentile et la fin déterministe, et note que certains programmes retiennent le 80e percentile comme date d’engagement prudente quand d’autres utilisent le 65e ou le 55e, qui laissent plus d’exposition au dépassement car les distributions de planning tendent à être asymétriques vers la droite^[1].

Dans l’exemple, la réserve est de 14,4 − 13 = 1,4 jour ouvré. Gardez-la sous forme d’une seule réserve visible devant le jalon de mise en production, où chacun peut la voir se consommer.

Notre recommandation est le P80 par défaut, car une date limite comme celle-ci transforme un retard en décalage d’un mois. Ne communiquez le P50 que lorsque le retard coûte peu, en précisant clairement qu’il est manqué une fois sur deux. Ce qui part au sponsor ici, c’est le chiffre du jour 14 du tableau, accompagné des deux moyens de l’améliorer issus du test sur chaque branche.

Facteurs de risque et indice de criticité

Un facteur de risque est une tâche dont la durée tirée fait le plus bouger la fin du projet, mesuré ici par la corrélation de rang de Spearman entre cette durée et la date de fin sur l’ensemble des itérations. L’indice de criticité est la part des itérations où une tâche se trouve sur le chemin qui détermine la fin ; le guide du GAO appelle cette même mesure risk criticality^[1].

Les deux répondent à des questions différentes. La criticité compte combien de fois une tâche se trouve sur ce chemin, et le classement des facteurs tient aussi compte de la largeur de sa fourchette : une tâche critique dans 60 % des itérations avec une fourchette étroite peut se classer derrière une tâche critique dans 40 % avec une fourchette large. Dans la bascule de paie, les branches sont presque à égalité en criticité, 53 % contre 47 %, alors que la corrélation de A est le double de celle de B. La paie en parallèle et le jalon de mise en production sont critiques dans 100 % des itérations, puisque les deux branches y aboutissent. Pour décider où va la prochaine heure d’estimation, triez par corrélation et lisez la criticité en second.

Comment mener une analyse des risques du planning, étape par étape#

Sept étapes font passer un planning d’une date unique à un P80 engagé, et l’essentiel du temps passe dans l’étape 2.

1. Vérifier les liens. Chaque tâche sauf la première a besoin d’un prédécesseur, et seule la dernière peut n’avoir aucun successeur. Une tâche sans prédécesseur démarre au premier jour dans chaque itération : les retards du travail dont elle dépend réellement ne l’atteignent jamais et la simulation finit trop tôt. Le guide des dépendances entre tâches présente les types de liens.
2. Estimer les tâches risquées. Choisissez les 5 à 10 tâches les plus susceptibles de déraper et obtenez pour chacune une estimation à trois points auprès de la personne qui fera le travail. Chaque estimation est une conversation, et la valeur pessimiste peut demander une deuxième question si la première réponse s’avère être un P90. Le reste garde la fourchette par défaut.
3. Choisir la distribution. Choisissez PERT ou triangulaire une fois pour toutes, et conservez-la pour toutes les versions du planning.
4. Lancer 5 000 itérations et lire l’histogramme, la courbe en S, les percentiles et la probabilité de tenir l’échéance.
5. Classer les facteurs de risque. Prenez les trois premières tâches par corrélation de rang et placez leur indice de criticité à côté.
6. Tester une modification sur le premier facteur avec la même graine, pour que la différence vienne de la seule modification, comme la réduction de la queue de la branche A dans l’exemple.
7. Enregistrer le P80 et la réserve avec la référence de base.

Erreurs fréquentes#

L’erreur qui pèse le plus sur le résultat est une fourchette uniforme sur toutes les tâches, qui transforme la sortie en planning plus une marge fixe. Un −10 % / +30 % uniforme masque les tâches réellement incertaines et prête aux autres un risque qu’elles n’ont pas ; dans l’exemple, il donnerait à A et B la même fourchette alors que celle de A est deux fois plus large.

• Un P90 saisi comme valeur pessimiste. La queue est coupée et le P80 sort trop tôt.
• Communiquer le P50 comme prévision. La moitié des itérations finissent plus tard.
• Deux versions du planning comparées avec des graines différentes, si bien qu’une partie de l’écart n’est que du bruit d’échantillonnage.
• Rogner les estimations jusqu’à ce que la date tienne. Le GAO avertit que modifier des durées simplement parce qu’une date de fin plus précoce est préférée risque d’augmenter le risque de retard du projet^[1]. Quand la date ne tient pas, changez la logique ou le périmètre, et ne touchez à une estimation qu’en présence d’éléments nouveaux sur cette tâche.
• Une simulation lancée avant que les liens soient corrects (étape 1).

Les limites de la simulation Monte Carlo#

Une simulation ne vaut que par ses fourchettes et son hypothèse d’indépendance. Des valeurs pessimistes rognées pour plaire à un sponsor donnent un P80 plus précoce que ce que le projet peut livrer.

Les simulations standard tirent chaque durée indépendamment. Quand une même cause ralentit plusieurs tâches à la fois, la queue réelle est plus longue que la queue simulée. L’exemple de construction de maison du GAO montre l’ampleur de l’effet : avec une corrélation de 90 % ajoutée entre activités de corps de métier liés, le P50 a à peine bougé (25 février sans corrélation, 24 février avec), tandis que le P80 est passé du 4 au 9 mars, une semaine ouvrée plus tard^[1]. Dans la bascule de paie, un prestataire qui paramètre la branche A et fournit aussi le modèle d’import de la branche B lie les deux branches, et les 82 % du test sont alors trop optimistes.

Les fourchettes de durée ignorent aussi les événements de risque. Un risque qui peut se produire ou non, comme le rejet par l’administration fiscale de la nouvelle immatriculation employeur, ajoute soit des semaines, soit rien, et une estimation à trois points le lisse en une fourchette régulière qui ne correspond à aucun des deux cas. Quand un seul événement peut ajouter des semaines, placez-le dans une tâche distincte avec ces semaines dans sa valeur pessimiste, ou traitez-le à part des percentiles.

Comment faire dans Planitude#

Ouvrez l’onglet Risque et activez la simulation. Planitude recalcule le planning 5 000 fois par défaut, avec des durées PERT ou triangulaires, en respectant les liens et contraintes du planning ; sur les très gros plannings, le nombre d’itérations est réduit, jamais en dessous de 1 000. Saisissez les durées optimiste et pessimiste dans le détail des tâches qui en ont besoin. Pour figer une tâche, comme la paie en parallèle, donnez-lui la durée prévue dans les deux champs ; les tâches laissées vides utilisent la fourchette par défaut du projet.

L’onglet affiche les dates P50, P80 et P95, la probabilité de tenir l’échéance ou toute date de votre choix, un histogramme, une courbe en S, les facteurs de risque et l’indice de criticité. La même graine sur le même planning donne les mêmes chiffres, si bien qu’un test comme celui sur la branche A se compare proprement. Les tâches terminées restent fixes et les tâches en cours ne simulent que leur reste à faire, ce qui fait repartir une nouvelle simulation à mi-projet de l’état réel du planning.

Les durées sont tirées indépendamment : un risque partagé par de nombreuses tâches élargit donc les queues davantage que ne le montre l’onglet. Les événements de risque et les coûts ne sont pas modélisés.

Questions fréquentes#